Matematyka

                                                                                                                                                                                                                                                                                                           ...

Egzamin z Matematyki  Imię i nazwisko:  …………………………………………………………..………,   Kraków,dn., ……………………  KrDZFr 1021, 1022, 1023, 1024, 1025    nr albumu:  ………………………………………..    Zadania 1- 10 (punktacja 0 – 6pkt): test wielokrotnego wyboru. Na każde pytanie należy odpowiedzieć  „TAK” lub „NIE”.     Za rozwiąz...

  1  FUNKCJE      f    jest  funkcj  (odwzorowaniem)  ze zbioru   X   w zbiór  Y,   je li   f   przyporz dkowuje ka demu  elementowi ze zbioru   X   co najwy ej jeden element ze zbioru   Y .    ( ) Y y x f x X f Y X f ∈ = ∋ → : :       Dziedzina funkcji:  ( ) { } x f X x Df ∃ ∈ = : :       Przeci...

  1    RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.     Na potrzeby kolejnych twierdze /dowodów/itd.   wprowadzam nast puj ce oznaczenie:  I , J  - dowolne przedziały.    R I f → :     R I F → :   Funkcj   F  nazywamy  funkcj  pierwotn   funkcji   f  , je li  ( ) ( ) x f x F I x = ′ ∀ ∈     Obserwac...

  1  Funkcje cyklometryczne  (funkcje odwrotne do pewnych 

  1  Twierdzenie o całkowaniu przez cz ci    ( ) I D g f ∈ ,     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx x g x f x g x f dx x g x f ′ − = ′ ,  I x ∈     o ile istniej  całki po prawej i po lewej stronie równo ci.      Dowód  ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g x f x g x f ′ + ′ = ′   całkuj c dwie strony ró...

  1              Pochodna funkcji    [ ] [ ] b a x b a D R R f f , , : 0 ∈ = →       je eli     ( ) ( ) 0 0 0 lim x x x f x f x x − − → ∃   ,     ( ) { } 0 \ , x b a x ∈  ,       to definiujemy pochodn  funkcji    f    w punkcie    x0  :    ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim : 0 x x x f x f x x x f − − → = ′ ...

Wzory podstawowe:  C a a dx a C x C x dx x C dx x x + = − ≠ + + − = + = = + ln 1 , 1 1 , ln 0 1 α α α α α   + = + − = + = C x xdx C x xdx C e dx e x x sin cos cos sin   C arctgx x dx C ctgx x dx C tgx x dx + = + + − = + = 2 2 2 1 sin cos   C x x dx C x x dx C arcctgx x dx + = − − + = − + = + − ar...

  1    Twierdzenie   ( ) ∃ ∈  I C f   f    Funkcje elementarne  to funkcje, które mo na otrzyma  z funkcji stałej, pot gowej, wykładniczej,  trygonometrycznych i cyklometrycznych przez wykonanie sko czonej liczby działa   ( ) 1 , :, , , , ...

  1      Twierdzenie Rolle’a    [ ] ( ) ( ) ( ( ) ( ) b f a f b a D f b a C f = ∈ ∈ , ,     Dowód  twierdzenia Rol e’a    z twierdzenia Weierstrass’a (o osi ganiu kresów) mamy  [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ( ) [ ] [ = = ∈ ∃ ∈ b a f x f b a f x f b a x x b a C f , sup , inf : , , , 2 1 2 1   co inaczej m...