EKSTREMA GLOBALNE Definicja Niech f : U R , gdzie U R n oraz niech P0 będzie pewnym punktem zbioru U, P0 U . Wtedy f P0 – wartość największa funkcji f : P U f P0 – wartość najmniejsza funkcji f : P U f P f P0 f P f P0 Definicja Funkcja f ma w P0 ek...
POCHODNA FUNKCJI O DZIEDZINIE JEDNOWYMIAROWEJ Definicja pochodnej w przestrzeni Banacha o dziedzinie zawartej w ciele K (o dziedzinie jednowymiarowej) Niech Y , . - przestrzeń Banacha (np. przestrzeń wielowymiarowa R n nad ciał...
RÓŻNICZKA ZUPEŁNA Niech X , , Y , przestrzenie unormowane nad K, U TopX , f :U Y , x0 U . Różniczką zupełną (pochodną zupełną) odwzorowania f w punkcie x0 nazywamy odwzorowanie liniowe i ciągłe Lx0 L X, Y) spełniające warune...
ODWZOROWANIA WIELOLINIOWE Definicja Niech X, Y – przestrzenie wektorowe nad ciałem K, g : X k Y. Odwzorowanie g nazywamy k-liniowym, gdy jest liniowe ze wzgledu na każdą zmienną osobno, tzn: j 1,..., k : g x1 ,..., x j 1 ,, x j 1 ,..., xk L X , Y , gdzie x1 ,..., x j 1 , x j...
TWIERDZENIE TAYLORA DLA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Twierdzenie Taylora (z resztą Lagrange'a) Zał: ( X , ) - przestrzeń unormowana nad R, x+h U TopX f :U R x f D (U ), tzn. f - k-krotnie różniczkowalna w U, odcinek x, x...
EKSTREMA LOKALNE Silne ekstrema lokalne Definicja Niech X – przestrzeń topologiczna, f : X R, x0 X . z def . 1° f ma w x0 silne minimum lokalne : V * Top * ( x0 ) : f ( x0 ) f ( x) dla x V * istnieje takie sąsiedztwo punktu x0 z def . 2° f ma w x0 silne maksimum lokalne...
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ Niech K R, U TopR n , f : U R, x0 U , f D x0 , tzn. funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0. Rozważmy wykres funkcji f, tzn. zbiór x, f x , x U R n 1 i hip...
MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZEK Niech U TopR n , f : U R, x0 U oraz załóżmy, że d x20 f . Wtedy 2 f d f (h , h ) ( x0 )hi1h 2 j i , j 1 xi x j i na podstawie własności odwzorowań wieloliniowych drugiej różniczce d x20 f odpowiada macierz 2 x0 1 n 2 2 2 f x0 ...
MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZKI 1. Niech U TopR n , f :U R oraz niech f D x0 dla x0 R n . Ponieważ różniczka d x0 f : R n R jest odwzorowaniem liniowym, zatem w bazie kanonicznej e1, ..., en macierz różniczki można zapisać w postac...
POCHODNA KIERUNKOWA Załóżmy, że dimX 1. z z = f(x,y) f ( P0 ) f[l] → → v → l P0 l||v i P0 єl y U x Definicja Niech X , . , Y , . - przestrzenie unorm...
