To tylko jedna z 11 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Relacja porządku Zbiór cz ęś ciowo uporz ą dkowany - zbiór częściowo uporządkowany Relacja określona na X jest relacją częściowego porządku czyli jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia w X
Diagramy relacji cz ęś ciowego porz ą dku Diagramy Haasego - diagramy relacji porządkujących dany zbiór skończony
Jeżeli to x leży poniżej y
Jeżeli to x i y łączymy odcinkiem
Element x jest połączony z x odcinkiem zredukowanym
Jeżeli istnieje łamana wznosząca łącząca x z y to Przedział pocz ą tkowy Niech - zbiór częściowo uporządkowany nazywamy odcinkiem początkowym w X gdy Odcinkiem początkowym wyznaczonym przez nazywamy zbiór Twierdzenie: Jeżeli A jest odcinkiem początkowym w B i B jest odcinkiem początkowym w C to A jest odcinkiem początkowym w C. dowód: Elementy: najwi ę kszy, najmniejszy, maksymalny, minimalny i ich własno ś ci Niech: - zbiór częściowo uporządkowany i Element nazywamy elementem największym: Element nazywamy elementem najmniejszym: Element nazywamy elementem maksymalnym: Element nazywamy elementem minimalnym: Własności
- elementem maksymalny zbioru A dowód: - elementem minimalny zbioru A jeżeli - zbiór częściowo uporządkowany to w X istnieje co najwyżej jeden element największy (najmniejszy) oraz jeżeli w X istnieje element największy (najmniejszy) to jest on elementem maksymalnym (minimalnym) dowód: Ograniczenie górne i dolne Niech: - zbiór częściowo uporządkowany Element nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą): Element nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą): Supremum i infimum Niech: - zbiór częściowo uporządkowany Element nazywamy kresem górnym (supA): - element najmniejszy w zbiorze wszystkich majorant zbioru A
Element nazywamy kresem dolnym (infA): - element największy w zbiorze wszystkich minorant zbioru A
Własności
- kres górny zbioru A - kres dolny zbioru A Homomorfizm, epimorfizm, monomorfizm i izomorfizm zbiorów cz ęś ciowo uporz ą dkowanych Niech: Mówimy, ze jest:
Homomorfizmem systemów Epimorfizmem systemów Monomorfizm systemów Izomorfizm systemów Endomorfizmem systemów Automorfizm systemów Twierdzenie 1. : Jeżeli: to dowód: Twierdzenie 2. : Jeżeli to relacja podobieństwa zbioru z P(X) jest relacją równoważności, tzn. dowód:
(…)
… tranzytywny to dowód: Liczba porządkowa
Liczbę nazywamy liczbą porządkową gdy - zbiór tranzytywny i Aksjomat regularności: Liczba porządkowa z relacją jest zbiorem dobrze uporządkowanym dowód: Jeżeli -liczba porządkowa i to - liczba porządkowa dowód: Jeżeli -liczba porządkowa to - liczba porządkowa dowód: Następnikiem liczby porządkowej nazywamy liczbę porządkową i oznaczamy: Liczbę porządkową nazywamy liczbą graniczną wtedy gdy nie istnieje liczba porządkowa taka że Jeżeli - liczby porządkowe i to dowód: WNIOSEK: Jeżeli - liczby porządkowe i to dowód: Paradoks Buroli - Forti: Nie istnieje zbiór liczb porządkowych dowód: nwp Jeżeli -liczba porządkowa to dowód: Jeżeli - liczby porządkowe podobne to dowód: Każdy zbiór dobrze uporządkowany jest podobny dokładnie do jednej liczby porządkowej dowód: Typem…
… i to - dobrze uporządkowany.
Twierdzenie 2: WK dobrego porządku: Jeżeli jest dobrze uporządkowany to jest liniowo uporządkowany dowód: bierzemy dowolne: Czyli - relacja spójna
Twierdzenie o zbiorze podobnym do dobrze uporządkowanego
Jeżeli jest dobrze uporządkowany i jest podobny do to jest dobrze uporządkowany. dowód: - zbiór częściowo uporządkowany bierzemy: Twierdzenie o endomorfizmie zbioru dobrze uporządkowanego…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)