To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Metody matematyczne w technologii materiałów Krzysztof Szyszkiewicz DEFINICJA . Niech : f D będzie funkcją określoną na odcinku . D Jeżeli dla ustalonego punktu 0 x D istnieje granica 0 0 0 ( ) ( ) lim , x x f x f x x x (0.1) to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 . x Granicę tę oznaczamy przez 0 ( ) f x i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie 0 . x Tak więc z definicji mamy 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . x x f x f x f x x x (0.2) Wprowadzając oznaczenie możemy granicę, która występuje w (0.2) zapisad następująco 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . h f x h f x f x h (0.3) Jeżeli pochodna istnieje w każdym punkcie , x D to mamy określoną funkcję : , f D która każdemu elementowi dziedziny x D przyporządkowuje pochodną ( ). f x Funkcję f nazywamy pochodną funkcji . f TWIERDZENIE . Niech funkcja , : f g D będą różniczkowalne w punkcie . x D Wtedy funkcje , , / f g fg f g są różniczkowalne w punkcie x oraz zachodzą równości a) ( ) ( ) ( ) ( ), f g x f x g x b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), fg x f x g x f x g x c) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) f f x g x f x g x x g g x W punkcie c) zakładamy, że ( ) 0. g x W wielu przypadkach jednak nie wystarczy posługiwanie się powyższymi równościami do obliczenia pochodnej. Na przykład dla funkcji 3 sin( 2 ) x x obliczenie pochodnej – mimo, że potrafimy obliczyd pochodną sin cos x x oraz 3 2 ( 2 ) ' 3 2 x x x – w oparciu tylko o wzory a), b) i c) nie jest możliwe. Musimy jeszcze posłużyd się wzorem na pochodną funkcji złożonej. Poniższe twierdzenie przedstawia ten wzór. TWIERDZENIE . Niech : , : f D g G będą funkcjami różniczkowalnymi. Ponadto zakładamy, że złożenie g f jest określone, tj. ( ) . f D G Wtedy funkcja g f też jest różniczkowalne i
(…)
…
Krzysztof Szyszkiewicz
Częśd 1. Obliczyd podane całki wykorzystując całkowanie przez części.
1)
x sin xdx.
4)
x
2)
x
6)
e
3)
x e dx.
8)
e
5)
ln
10) eax cos bxdx, gdzie a, b .
7)
9)
x
2
ln xdx.
3 x
2
xdx.
3
sin xdx.
x
sin xdx.
ax
sin bxdx, gdzie a, b .
k x 2 dx.
2
sin(5 x)dx.
Częśd 2. Korzystając z metody całkowania przez podstawienie, obliczyd podane całki nieoznaczone.
1)
2)
xe
x2…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)