"Matematyka jest królową wszystkich nauk, jej ulubieocem jest prawda, a prostośd i oczywistośd jej strojem." Jędrzej Śniadecki Def. Niech B=(1, 2, … , ) będzie bazą w przestrzeni euklidesowej . Układ wektorów (1, 2, … , ) nazywamy kobazą w przestrzeni względem bazy B, jeżeli ∘ = = 1, = 0, ≠ dla i,j,0,…,n- Np. Znajdź kobazę do bazy ((-1,2),(2,1)). niech 1 = (, ) − + 2 = 1 2 + = 0 1 = (− 1 5 , 2 5 ) niech 2 = (, ) − + 2 = 0 2 + = 1 2 = ( 2 5 , 1 5 ) Wniosek: Niech K=(1, 2, … , ) będzie bazą kanoniczną, a B=(1, 2, … , ) dowolną bazą w . Jeżeli ∗ = (1, 2, … , ) jest bazą dualną do B oraz ∗ bazą dualną do K, to układ (∗ 1 , ∗ 2 ,…, ∗ ) jest kobazą w względem bazy B. W tym sensie możemy bazę dualną do B traktowad jako kobazę przestrzeni względem bazy B i tym samym wektory przestrzeni dualnej, jako wektory przestrzeni o współrzędnych w kobazie Def. Niech B=(1, 2, … , ) będzie dowolną bazą w . Mówimy, że wektor ∈ jest wektorem kontrawariantnym = Mówimy, że wektor ∈ jest wektorem kowariantnym = , gdzie ∗ = (1, 2, … , ) jest kobazą względem B Tw. Jeżeli = (1, 2, … , ) jest bazą w , to macierz przejścia z bazy B do bazy dualnej ∗ równa jest P(B,∗)=[ ∘ ]. Wniosek: 1. Macierz przejścia P(B,∗) jest macierzą symetryczną 2. Macierz przejścia z bazy ∗ do B równa jest P(∗,B)=P(B,∗) ;1 =[ ∘ ] Np. 1. Wyznacz macierz przejścia z bazy B=((-2,1,1),(1,1,-3),(1,1,-1)) do bazy dualnej w przestrzeni 3 i wylicz bazę dualną P(∗,B )= ° = 6 −4 −2 −4 11 5 −2 5 3 P(B,∗) = 1 18 4 1 1 1 7 −11 1 −11 25 czyli 1 = 1 18 4,1,1 1 = 2 9 −2,1,1 + 1 18 1,1, −3 + 1 18 1,1, −1 = (− 1 3 , 1 3 , 0) 2 = 1 18 1,7, −11 2 = 1 18 −2,1,1 + 7 18 1,1, −3 − 11 18 1,1, −1 = (− 1 3 , − 1 6 , − 1 2 ) 3 = 1 18 1, −11,25 3 = 1 18 −2,1,1 − 11 18 1,1, −3 + 25 18 1,1, −1 = ( 2 3 , 5 6 , 1 2 ) 2. Oblicz ∘ w przestrzeni dualnej do 3 w bazie B=((1,1,1),(-2,1,-1),(-1,2,2)), jeżeli f(x)=31 − 2 − 3, g(x)=1 − 22 + 43 P ∗, = 3 −2 3 −2 6 2 3
Notatka zawiera między innymi takie zagadnienia jak: baza kanoniczna, kontrakcja tensora f, nasunięcie proste, nasunięcie pełne, norma tensora f
(…)
…
3
11
26
28
4 1
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)