docx zajmuje 12 stron i zawiera 6 zestawów pytań i zadań z rozwiązaniami z przedmiotu elementy logiki, prowadzonego przez prof. dr hab. Andrzej Malawski na Uniwersytecie Ekonomicznym w Krakowie.
Pytania dotyczą takich zagadnień jak:
antynomia wyrazu heterologiczny, problem pełności KRZ, reguła odrywania, twierdzenie o dedukcji, trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza, prawa myślenia Arystotelesa, kreska Sheffera, logika jako metoda u Sokratesa, definicja kraty.
Dodatkowo w zadaniach pojawiają się: prawa de Morgana, funkcje Łukasiewicza, definicja funkcji konsekwencji, definicja prawdy Arystotelesa, alfabet klasycznego rachunku predykatów, prawa rozdzielczości, antonimia kłamcy, zasada abstrakcji w postaci twierdzenia,
pojecie niesprzeczności dla zbioru zdań i ich własności.
Notatka pozwoli przedstawić podstawowe zagadnienia logiki. Usystematyzuje i pogłębi wiedzę zdobytą na wykładach oraz pozwoli przygotować się odpowiednio na zajęcia i egzamin.
ZESTAW 1
1. SFORMUŁOWAĆ ANTYNOMIĘ WYRAZU HETEROLOGICZNY, WSKAZAĆ JEJ ŹRÓDŁO I SPOSÓB ROZWIĄZANIA TEJ TRUDNOŚCI.
Autorem antynomii wyrazu `heterologiczny' był Grelling.
Antynomia = sprzeczność wewnętrzna.
Heterologiczny - wyraz `w' jest heterologiczny wtedy i tylko wtedy, gdy `w' nie jest w.
np. Wyraz „kreda” nie jest kredą. Wyraz „rzeczownik” jest rzeczownikiem.
Czy wyraz „heterologiczny” jest heterologiczny?
„Heterologiczny” jest heterologiczny wtw. gdy „heterologiczny” nie jest heterologiczny.
Czyli zapisując podane zdanie jako funkcję: , co oczywiście jest sprzecznością (nie może coś być i jednocześnie nie być).
Dla uniknięcia takich paradoksów należy odróżniać język od metajęzyka oraz przestrzegać zasad samoreferencji (wielopoziomowa struktura języka).
nie wolno mieszać poziomów języka
2. SFORMUŁOWAĆ PROBLEM PEŁNOŚCI KRZ ORAZ UZASADNIĆ, ŻE REGUŁA ODRYWANIA NIE WYPROWADZA POZA ZBIÓR TAUTOLOGII.
Dla rachunku zdań istnieje twierdzenie o pełności, które mówi: każda teza KRZ jest twierdzeniem tego rachunku, czyli schematem tautologicznym i odwrotnie, każdy schemat tautologiczny jest teza KRZ (to co prawdziwe jest dowodliwe, a to co dowodliwe jest prawdziwe). Każde twierdzenie posiada dowód, a teza jest twierdzeniem.[Pełność - teoria jest teorią pełną jeżeli każde twierdzenie tej teorii posiada dowód.] Każda formuła, która posiada dowód jest twierdzeniem. Rachunek zdań jest systemem dedukcyjnym pełnym.
Cn(ø)=T=E(M)
T - zbiór twierdzeń
M=({0,1) , Λ , ν , ~ , υ , ƒ ) - algebra Boole'a M
E(M) : ={AcF; Λ f:Zm→{0,1}, wf (A)=1} - zbiór wszystkich tautologii algebry Boole'a M
f:Zm→{0,1} - funkcja wartościowania zmiennych
wf : F →{0,1} - funkcja wartościowania formuł
Reguła odrywania, pozwala, by w danej tautologii implikacyjnej (tzn. mającej budowę zdania implikacyjnego) oderwać następnik implikacji, pod warunkiem, że poprzednik tej implikacji również jest tautologią rachunku zdań. W gruncie rzeczy odrywamy od większej tautologii tautologię mniejszą, którą jest poprzednik implikacji. Na przykład z tautologii (p → q), jeśli p jest również tautologią, odrywamy q i traktujemy to q jako nową zupełnie tautologię. I jeśli to q ma również postać tautologii implikacyjnej, której poprzednik jest tautologią, to odrywanie następnika można powtórzyć. Na przykład z następującego wyrażenia, które jest prawem rachunku zdań: {(p v q) → (~p → q)} → {~ (p v q) v (~p → q)}
można oderwać następnik, ponieważ jego poprzednik, tzn. {(p v q) → (~p → q)} jest również tautologią. Oderwany następnik {~ (p v q) v (~p
(…)
…” jest czasownikiem.
2. OPISAĆ ALFABET KLASYCZNEGO RACHUNKU PREDYKATÓW. PODANE SYMBOLE ZILUSTROWAĆ PRZYKŁADAMI.
Klasyczny rachunek predykatów zwany jest inaczej klasycznym rachunkiem kwantyfikatorów.
Alfabet:
{Xi}iI0 - zmienne indywiduowe Przykładowo: , e
W systemie dziesiętnym nie możemy zapisać nazw liczb niewymiernych (jako skończonych ciągów symboli). Dlatego w matematyce niektóre ważne liczby niewymierne mają specjalne oznaczenia. {Ci}iI1 - stałe indywiduowe
Przykładowo: Liczby w arytmetyce w języku systemu dziesiętnego (mamy nazwy wszystkich liczb wymiernych: naturalnych i całkowitych)
Inaczej: wszystkie nazwy występujące w języku pierwszego rzędu to stałe indywiduowe.
{Fi}iI2 - symbole funkcyjne (działań) ki ≥ 1-argumentowe
Przykładami liter funkcyjnych SĄ znane z matematyki symbole „” (jednoargumentowy) oraz „:” (dwuargumentowy). Wyrażenie „ ” jest nazwą liczby 2, tak samo wyrażenie „4:2”
{Pi}iI3 - symbole relacji predykatów
ki ≥ 1-argumentowe
Indywidua mogą pozostawać w pewnych zależnościach, związkach, ogólnie mówiąc - relacjach. W zbiorze liczb może to być np. relacja mniejszości (<).
{,→} - stałe logiczne
{, } - stałe logiczne (symbole kwantyfikatorów)
Przykład: „Wszystkie liczby naturalne są całkowite”
x (x…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)