Krzywizna linii na powierzchnii, twierdzenia Meusniera i Eulera- opracowanie

KRZYWIZNA LINII NA POWIERZCHNI, TWIERDZENIA MEUSNIERA I EULERA.
Krzywa przechodzi przez punkt P i leży na
powierzchni, więc można powiedzieć, że powstała
przez przecięcie powierzchni z płaszczyzną (a
przynajmniej każdy nieskończenie mały element
krzywej). Wśród krzywych leżących na powierzchni i
przechodzących przez punkt P można wyróżnić:
1 - krzywe powstałe przez przecięcie płaszczyznami
zawierającymi normalną do powierzchni w tym
punkcie (tzw. przekroje normalne)
2 - wszystkie inne krzywe to przekroje skośne
P
n
P
Twierdzenie Meusniera: promień krzywizny
przekroju skośnego równa się rzutowi na
płaszczyznę ściśle styczną tego przekroju
promienia krzywizny przekroju normalnego
przechodzącego przez styczną do przekroju
skośnego.
R  R N cos 
 - kąt, pod którym się rzuca
Twierdzenie Eulera. Euler zauważył, że dwa
przekroje normalne mają ekstremalną krzywiznę.
Nazwał je przekrojami minimalnym ( Rmin , R1 ) i
maksymalnym ( Rmax , R2 ). Są one wzajemnie
prostopadłe, a wszystkie inne mają promień
krzywizny z tego przedziału. W dodatku każdy z
pozostałych przekrojów:
1 cos 2  sin 2 


R
R1
R2
 - kąt między obliczanym przekrojem
normalnym R a promieniem krzywizny o
minimalnej wartości R1 .
R - promień krzywizny przekroju normalnego
... zobacz całą notatkę