To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 20
DEFINICJA 20.1
L2 [a,b] - zbiór funkcji całkowalnych z kwadratem UWAGA 20.1
Funkcje różniące się na zbiorze miary zero będziemy utożsamiać.
UWAGA 20.2
(L2[a,b], +, R, *) - jest przestrzenią wektorową.
TWIERDZENIE 20.1
Odwzorowanie :
jest iloczynem skalarnym w L2[a,b].
Dowód:
A zatem takie odwzorowanie określa iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem.
WNIOSEK 20.1
- przestrzeń unitarna
- jest przestrzenią unormowaną, przy czym
przestrzeń metryczna, gdzie UWAGA 20.3
Zbieżność w sensie metryki d nazywa się zbieżnością przeciętną z kwadratem.
DEFINICJA 20.2 (CIĄG ORTOGONALNY)
Niech - ortogonalny ortonormalny DEFINICJA 20.3 (SZEREG ORTOGONALNY)
Niech - ciąg ortogonalny
wówczas - nazywamy szeregiem ortogonalnym
TWIERDZENIE 20.2 (WSPÓŁCZYNNIKI EULERA - FOURIERA)
Z: szereg ortogonalny zbieżny jednostajnie do funkcji T:
- współczynniki Eulera - Fouriera
Dowód:
- wszystkie poza k - tym zerują się
Dane : - ciąg ortogonalny
Dla funkcji f:
- współczynniki Eulera - Fouriera względem ciągu , wtedy DEFINICJA 20.4
f - rozwijalna w szereg ortogonalny (uogólniony Fouriera) względem ciągu ortogonalnego tzn. jest zbieżny punktowo do f na [a,b]
TWIERDZENIE 20.3 (NIERÓWNOŚĆ BESSELA)
Z:
- ciąg ortogonalny
T:
Dowód:
Niech - ciąg sum częściowych szeregu Pokazaliśmy, że TWIERDZENIE 20.4 (TOŻSAMOŚĆ PARSEVALA)
Z: T:
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)